Tema 1:

Los Números naturales

Sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto

Propiedades de la adición de números naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo: 

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la multiplicación de números naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo: 

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo: 

5 · 8 = 8 · 5 = 40

Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a · 1 = a

Distributiva del producto respecto de la suma

Si a, b, c  son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo: 

5 · ( 3 + 8 ) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 · ( 3 + 8 ) = 5 · 3 + 5 · 8

Tema 2:

Los Números enteros

Cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:

• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;

• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

Suma de números enteros

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:

• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos:

• 7 + 11 = 18

• -7 - 11 = -18

• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:

• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2

• -7 + 5 = - (7 - 5) = -2

• 14 + (-14) = 0

La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

Conmutativa:

a + b = b + a

Elemento neutro:

el cero es el elemento neutro de la suma,

a + 0 = a

Elemento opuesto:

todo número entero a, tiene un opuesto –a,

a + (-a) = 0

Multiplicación de números enteros

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo:

+ · + = +

+ · - = -

- · + = -

- · - = +

La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

Conmutativa:

a · b = b · a

Elemento neutro:

el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,

a · 1 = a

Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:

a · (b + c) = a · b + a · c

Resta de números enteros

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:

a - b = a + (-b)

Por ejemplo: 

5 - (-3) = 5 + 3 = 8

-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7

Tema 3

Número racional

Es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.

Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:

Suma de números racionales

La suma de dos números racionales es otro número racional (véase Fracción: Suma de fracciones). Cumple las siguiente propiedades:

Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

Conmutativa:

a + b = b + a

Elemento neutro:

el cero es un número racional que hace de elemento neutro en la suma,

a + 0 = a

Elemento opuesto:

el opuesto de un número racional a, es otro número racional –a,

a + (-a) = 0

Producto de números racionales

El producto de dos números racionales es otro número racional (véase Fracción: Producto de fracciones). Cumple las siguientes propiedades:

Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

Conmutativa:

a · b = b · a

Elemento neutro:

el 1 es un número racional que hace de elemento neutro del producto,

a · 1 = a

Elemento inverso:

el inverso de un número racional a ≠ 0 es otro número racional que multiplicado por a da 1

Distributiva respecto a la suma:

a · (b + c) = a · b + a · c